Domino Match

二つの正方形をつなげた長方形タイルを模様が合う様に敷き詰めるパズル。

(語法) 以下において、タイルの頂点は、長方形タイルを構成する正方形の頂点および辺(内部の辺は除く)を指すものとする。すなわち頂点には長辺の中点も含まれ、2本の短辺と長辺を2分割した4本の辺がタイルの辺を構成する。


Domino Match (spiral loop)

picture of Domino Match (spiral loop)

写真のような 18 枚のタイルを線がつながるように一辺6の正方形に敷き詰める。線は組み上がりの外周で途切れていてもよい。裏面は利用しない。 タイルから2辺を任意に選ぶ組み合わせは9通りあるが、18 枚のタイルは任意に選んだ異なる2辺の中点を結んだ9枚と残りの4辺の中点を2本の線で互いに交差するように結んだ9枚から構成されている。

(Sep. 28, 2009)

さらに、次の条件を加える。3番目の条件を満たす解は必然的に2番目の条件を満たす。最初の条件は2番目の条件を加えた方が易しくなる可能性がある。最初の条件のみを満たす解は見つかっているがそれでも非常に難しい。

  1. タイル上のすべての線を1本で結ぶ。
  2. (未解決)外周で途切れている線も上下端および左右端がつながるようにする。
  3. (未解決)すべての線をループにする(ループの本数は複数も可)。

Domino Match (path)

picture of Domino Match (path) picture of Domino Match (path)

写真のような 18 枚のタイルを線がつながるように一辺6の正方形に敷き詰める。線は外周で途切れていてもよい。裏面は利用しない。 タイルの構成は、正方形の4辺のうち2辺を互いに線で結ぶ2種の基本パターン(2番目の写真のオレンジの枠線に囲まれた部分)とその鏡像パターン(写真の水色の枠線に囲まれた部分)のそれぞれから一つずつ任意に選んで接合部で線が途切れる形にならないようにくっつけたものを網羅している。 すなわち、基本パターンは線対称ではなく、かつ、線は辺の中点から一定距離ずれた位置を通る。線を辿って行くとき、水色の基本パターンとオレンジの基本パターンのマスを交互に通過することになる。

(Sep. 28, 2009)

追加条件なしでも意外と手こずるが、上の Domino Match (spiral loop) と同様の条件も加えられる。

  1. (未解決)タイル上のすべての線を1本で結ぶ。
  2. 外周で途切れている線も上下端および左右端がつながるようにする。
  3. すべての線をループにする(ループの本数は複数も可)。

Domino Match (path #2)

picture of Domino Match (path #2) picture of Domino Match (path)

Domino Match (path #1) の基本パターンを変えたもの。 2枚目の写真の左側のパターンと右側のパターンを組み合わせて出来上がるタイルになる。 こちらには閉ループの解は存在しない(コーナーに使えるタイルは6枚存在するが、パリティの関係で実質的には半分の3枚しか使えないので)。 しかしながら、上の2番目の条件を満たす解は存在する。

(Aug. 12, 2010)

Domino Match (reflections)

picture of Domino Match (reflections)

写真のような 18 枚のタイルを黒い線が各頂点でまっすぐになるように一辺6の正方形に敷き詰める。裏面は利用しない。 タイルの各頂点に左右いずれかに斜め45度の向きに傾いたマーク(写真では黒い領域)をつけるとき、全部で 36 通りのパターンが得られる(タイルの向きを変えなければ 2 の 6 乗 = 64 通りのパターンが出来上がるが、 180 度回転しても同じになる 8 パターン と残りの 56 パターンの半数との合計が 36 )。 タイルを構成する正方形の中心に向かうマークの長さを中心まで届くようにとれば、マークに挟まれる線が浮かび上がる(写真の白い線)。 これらのタイルのうち、辺と別の辺をつなげる白い線が1本だけのもの 18 枚が写真に示したものになる。 これは Tri-Match (triangles) と類似するデザインで、このセレクションは少々仕組みが繁雑に見えるが、タイルの一つの辺の中点から45度の角度で入射した光がタイルの辺で反射して別の辺から出て行くようなパターンを網羅したもの、と解釈することもできる(ただし、タイルの2つの正方形に挟まれた内部の辺でも反射は起きるものとする)。この解釈がタイトルの由来であり、完成すると行き止まりや分岐の無い白い線が浮かび上がる。

(Sep. 28, 2009)

このパズルも Domino Match (spiral loop) と同様の条件を加えられるが、白い線すべてをループにする解(本数は2本)は存在する。

Domino Match (periodic ptah)

次の図は上の Domino Match (reflections) と本質的に等価に近いデザイン。 上の写真と同じ位置のタイルが対応するパターンになる。 しかし、上のデザインによる解は必ず下のデザインによる解を導き出すが、逆は成立しない。 上のデザインでマッチしていない左上隅のタイルが対応する下の図(緑線で囲まれたタイル)ではマッチする。

picture of alternate desigin of Domino Match (reflections)

(Feb. 25, 2011)

Domino Match (2 colors)

picture of Domino Match (2 colors)

写真のような 18 枚のタイルを色がマッチするように一辺6の正方形に敷き詰める。裏面は利用しない。 上の Domino Match (reflections) と同様に、今度はタイルの各頂点のマークを斜線の向きではなく白または黒に色分けすることでも 36 通りのパターンが得られる。 写真に示したタイルは Domino Match (reflections) からタイルの斜線の向きと白/黒の色分けを対応付けて得られたパターンになる。このセレクションは 36 種のパターンのうち、隣接する黒色の頂点をつなげたときに白と黒の領域に3分割されるものの集まり、とも解釈できる。

(Sep. 28, 2009)

組み上がりの上下端および左右端もマッチする解も存在する。


Domino Match (diagonal lattice)

picture of Domino Match (diagonal lattice)

写真のような 18 枚のタイルで色を合わせながらタイルと同じ面積の斜めの正方形の格子模様が出来上がるように一辺6の正方形に敷き詰める。裏面は利用しない。 タイルは格子模様を同じ色が隣り合わないように3色で色分けるパターンを網羅している。 このパズルは diamond match (hex) と類似したデザインで同様に妙に難しい所がある。

(Aug. 22, 2010)

Domino Match (2 colored path)

picture of Domino Match (2 colored path)

図のような 18 枚のタイルで線の色が合うように一辺6の正方形を敷き詰める。図では左下1枚が合っていない。 タイルは6辺のうち4辺の中点を異なる色の2本の線で互いに交差するように結ぶパターンを網羅する。 このパズルは非常に難しいが解は存在する。一方の色の線を1本に繋げる解はまだ見つかっていない。

(Feb. 23, 2011)

Domino Match (3 colored path)

picture of Domino Match (3 colored path)

図のような 18 枚のタイルで線の色が合うように一辺6の正方形を敷き詰める。 裏面は鏡像。 図では右端の無地のタイルが合っていない。 タイルには辺の中点を結んで並行する3本の線が描かれているが、これらの線を3色で塗り分けるときの全てのパターンを網羅している。 (図では線は2色しか見えないが残りの1色は透明と考える)。 このパズルも非常に難しいが解は存在する。

(Mar. 17, 2011)

Domino Match (3 colored path #2)

次の図は線のパターンを変えたもの。 こちらも裏面は鏡像だが線パターン自体は左右対称なのでパターンにも左右対称のものが含まれる。

picture of Domino Match (3 colored path #2)

上のものより易しいが次の条件を加えると難度が上がる:

  1. 一色の線を1本に繋げる
  2. どの色の線も円のみにする
  3. 一色の線をループにする
  4. 対辺の色も合わせる

2〜4番目の条件を同時に満たす解も存在する。 3番目の条件をより強い二色の線をループにする(透明な線以外は周上で途切れないようにする)条件も考えられるがどうも無理なようだ。

(Mar. 18, 2011)

Domino Match (3 colored path #3)

(未解決)次の図は上2つをミックスしたようなデザイン。 これも裏面は鏡像

picture of Domino Match (3 colored path #2)

タイルのパターンは次の3つの正方形タイル(どのタイルも2色の線からなる)から(同じものも含め)2つを線の色が合うように組み合わせたものからなる。 とても難しくまだ解けていない。

fundamental pattern of Domino Match (3 colored path #2)

(Mar. 22, 2011)

Domino Match (lattice)

picture of Domino Match (lattice)

写真のような 18 枚のタイルで色を合わせて正方形の格子模様が出来上がるように一辺6の正方形に敷き詰める。 裏面は鏡像。 図では左上1枚が合っていない。 タイルは格子模様を同じ色が隣り合わないように3色で塗り分けるパターンを網羅している。 パターンは 27 種類存在するがそのうち 18 種が 9 組の鏡像ペアになる。 裏面を使えるにも関わらずとても難しい。

(Mar. 16, 2011)


著作/デザイン:広瀬行夫